Efrem ha dei dubbi:

Un corpo C di massa m = 15 kg si trova sulla congiungente di due corpi A e B di massa rispettivamente m₁ = 200 kg e m₂ = 600 kg. Calcolare modulo, direzione e verso della forza che si esercita su C.

Ecco la mia risposta:

La forza di attrazione gravitazionale fra due corpi è data dal prodotto della costante gravitazionale universale, G = 6,67·10^–11 N·m²·kg^–2, per il prodotto delle masse diviso per la distanza al quadrato.
Di conseguenza la forza esercitata da A su C sarà di intensità pari a F_A = G·m·m₁/(r_A²), mentre la forza esercitata da B su C sarà di intensità pari a F_B = G·m·m₂/(r_B²). La forza risultante sarà data dalla differenza dei due moduli, perché le due forze hanno verso opposto.

Poiché mancano le informazioni sulle distanze, è impossibile completare l'esercizio.

Roberto propone un problema:

Due corpi di massa rispettivamente m₁ = 5 kg e m₂ = 4 kg sono appoggiati a due piani inclinati che formano con il suolo angoli rispettivamente di 30° e 45°, adiacenti fra loro. Determina se il sistema si muove, sapendo che il coefficiente di attrito su entrambi i piani è µ = 0,3.

Ecco la mia risposta:

Le componenti delle forze peso sui due corpi lungo i due piani inclinati sono rispettivamente pari a P₁ = m₁g·sin(30°) = 24,5 N e P₂ = m₂g·sin(45°) = 27,7 N, mentre le forze di attrito sono rispettivamente A₁ = µm₁g·cos(30°) = 12,7 N e A₂ = µm₂g·cos(45°) = 8,3 N.

Sul sistema agisce una forza totale pari alla somma delle due forze peso (dirette in verso contrario) e delle due forze di attrito. Assumendo come verso positivo quello lungo il quale cadrebbe il primo corpo, la forza motrice dovuta alla gravità vale F = P₁ – P₂ = –3,2 N. Se non ci fosse l'attrito, il sistema si muoverebbe, con il primo corpo trainato verso l'alto dalla caduta del secondo.
Ma l'attrito c'è, ed esercita una forza maggiore delle forza motrice, che quindi non è in grado di mettere in moto il sistema.

Loris ha un problema:

Un oggetto molto pesante è fermo su un piano con coefficiente di attrito k = 0,2. Sapendo che due ragazzi che lo tirano con forze di intensità 60 N, formanti un angolo di 60°, lo accelerano di appena 0,1 m/s², determina la massa dell'oggetto.

Ecco la mia risposta:

Detta m la massa, la forza peso e la forza di attrito risultano rispettivamente F_p = mg e F_a = kmg. La forza totale dei due ragazzi può essere trovata con il metodo punta-coda: la somma risulta F_R = 2 · 60 N · cos(30°) = 104 N.

Per la seconda legge di Newton possiamo scrivere:
     ma = F_tot = F_R – F_a = F_R – kmg
da cui:
     (a + k·g)·m = F_R
e infine:
     m = F_R / (a + k·g) = 50,4 kg.

Riccardo è in difficoltà:

Ad un corpo di massa m = 2 kg, inizialmente fermo, vengono applicate due forze costanti, di modulo F = 10 N, che formano un angolo α = 30°. Determinare il tempo impiegato dal corpo per percorrere una distanza Δs = 10 m.

Ecco la mia risposta:

La risultante di due forze di uguale modulo F, formanti un angolo α, è diretta come la bisettrice dell'angolo α e ha modulo pari a F_T = 2·F·cos(α/2).

Se la forza è costante, dividendola per la massa si ottiene l'accelerazione che caratterizza il moto uniformemente accelerato del corpo: a = F/m.

In un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla, la distanza è direttamente proporzionale al quadrato del tempo impiegato: Δs = ½a·Δt².
Noti Δs e a, si ricava Δt = √(2·Δs/a).

Mirko ha un problema:
Tre lunghi fili, disposti come in figura perpendicolarmente al piano del foglio, sono percorsi da una corrente elettrica d’intensità 10,0 A. I punti e le croci indicano rispettivamente correnti uscenti dal foglio e correnti entranti nel foglio. Trovare le intensità delle forze risultanti agenti sul filo 1 e sul filo 3 per metro di lunghezza.

Ecco la mia risposta:
La legge di Ampère della forza magnetica fra due fili paralleli di lunghezza \(l\), percorsi da correnti di intensità rispettivamente \(i_a\) e \(i_b\) e posti a una distanza \(r\), è:\[\displaystyle F=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i_a\cdot i_b}{r}l\]dove \(\mu_0\) è la permeabilità magnetica del vuoto, pari a \(\displaystyle \mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\mathrm{\frac{N}{A^2}}\). La forza risulta attrattiva se le correnti hanno lo stesso verso, repulsiva se hanno verso opposto.

Applicando questa legge alla forza agente sul filo 1 da parte dei fili 2 e 3, si vede che entrambe le forze sono repulsive, dirette lungo il prolungamento dei lati che vanno da 2 o 3 a 1, e di uguale intensità, pari a \(F=2,00\cdot 10^{-4}\,\mathrm{N}\). Le due forze formano due vettori di uguale modulo, \(\vec F_{21}\) e \(\vec F_{31}\), l’angolo fra i quali è di 60°. Il vettore somma è diretto lungo l’altezza del triangolo dal vertice 1, con verso esterno al triangolo; il suo modulo si può calcolare come \(F_T=F_{21}\cdot \cos(30°)+F_{31}\cdot \cos(30°)\).

A questo punto Mirko dovrebbe essere in grado di completare l’esercizio da solo. Sarà così? Stiamo a vedere…

Questo esercizio è molto analitico:
Un blocco di granito di 40 kg viene fatto scivolare su un piano inclinato in lamiera (velocità iniziale = 0) . Tra il piano e il blocco di granito c’è attrito dinamico con coefficiente di attrito pari a 0,25. Viene installata una fotocellula a 50 m da dove parte il blocco. L’inclinazione del piano è di 25°. Trovare
1. La forza risultante che provoca il moto.
2.  L’accelerazione con cui scende il corpo.
3. Quanto ci mette ad arrivare alla fotocellula.
4. La velocità registrata dalla fotocellula.

Ecco la mia risposta:
1. La forza risultante è la somma della componente della forza peso parallela al piano inclinato (pari a \(mg\sin\alpha\), come è noto dalla trattazione elementare del piano inclinato) con la forza di attrito (proporzionale alla componente perpendicolare della forza peso, \(mg\cos\alpha\) e pari a \(\mu mg\cos\alpha\)). Le due forze hanno verso opposto, quindi il modulo della loro somma è la differenza dei moduli:\[F_R=mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha=\mathrm{77\,N}.\]2. L’accelerazione è data dal rapporto fra la forza risultante e la massa, \(\displaystyle a=\frac{F}{m}=\mathrm{1,9\,\frac{m}{s^2}}\).
3. Il moto del corpo è uniformemente accelerato, con velocità iniziale nulla. L’espressione della distanza percorsa è \(\displaystyle\Delta s=\frac{1}{2}at^2\) da cui si ricava l’intervallo di tempo impiegato a percorrere i \(\mathrm{50\,m}\) che dividono la posizione iniziale del corpo dalla fotocellula: \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2\Delta s}{a}}=\mathrm{7,3\,s}\).
4. In un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla l’espressione della velocità all’istante \(t\) è \(v=at\), per cui la velocità registrata dalla fotocellula è \(\displaystyle v=\mathrm{1,9\,\frac{m}{s^2}\cdot7,3\,s=14\,\frac{m}{s}}\).

Questo esercizio è molto simile al precedente:
Un corpo scivola lungo un piano inclinato alto 2 m e lungo 10 m. Se il coefficiente d’attrito è k = 0,2 calcola la sua velocità finale.

Ecco la mia risposta:
Rimando al problema precedente, Un blocco di granito su un piano in lamiera. Ci sono alcune piccole differenze: nel problema precedente viene data l’inclinazione del piano, mentre qui si forniscono altezza e lunghezza, così che risulti naturale scrivere la componente parallela della forza peso come \(\displaystyle mg\frac{h}{l}\); il coefficiente di attrito, che lì ho chiamato \(\mu\), qui si chiama \(k\); e la distanza al termine della quale occorre calcolare la velocità non è la distanza fino a una fotocellula, ma l’intera lunghezza del piano.
Per il resto, l’esercizio si svolge allo stesso modo.

A questo esercizio manca un disegno:
Una massa Ma = 2 kg è posta su un carello di massa Mb = 8 kg ed è legata con una fune inestensibile e senza massa alla massa Mc = 4 kg. La carrucola è anch’essa senza massa, il coefficiente d’attrito tra A e B è 0,6 mentre è nullo tra B e il tavolo. Determinare le accelerazioni tra A e B relative al tavolo e la tensione nella fune.

Ecco la mia risposta:
Tiro a indovinare e ipotizzo che la situazione sia quella rappresentata nel disegno.

Consideriamo le forze agenti su ciascun oggetto:
1. su C agiscono la forza peso \(P=m_Cg\) e la tensione \(T\) della fune, per cui l’accelerazione è \(\displaystyle a_C=\frac{P-T}{m_C}\);
2. su B agiscono la tensione della fune e la forza di attrito (che si oppone al moto) \(F_a=\mu m_Ag\), per cui l’accelerazione è \(\displaystyle a_B=\frac{T-F_a}{m_B}\);
3. su A agisce la sola forza di attrito, rivolta in avanti, per cui l’accelerazione è \(\displaystyle a_A=\frac{F_a}{m_A}=\mu g\).
Dato che la fune è inestensibile, deve essere \(a_C=a_B\), da cui:\[\displaystyle\frac{m_C\,g-T}{m_C}=\frac{T-\mu\,m_A\,g}{m_B}\]quindi\[m_B\,m_C\,g-m_B\,T=m_C\,T-\mu\,m_C\,m_A\,g\]e finalmente\[\displaystyle T=\frac{\left(m_B+\mu\,m_A\right)m_C\,g}{m_C+m_B}.\]Calcolando con questo risultato \(a_C=a_B\), si trova \(\displaystyle \frac{m_C\,g-\mu\,m_A\,g}{m_C+m_B}\). Questo risultato ci dice che il sistema B+C si muove come un singolo oggetto sottoposto alla forza risultante dalla forza peso su C e la forza di attrito fra A e B. L’accelerazione così calcolata è relativa al tavolo.
Anche l’accelerazione \(a_A=\mu\,g\) è relativa al tavolo. Non so cosa volesse dire il testo parlando di “accelerazioni tra A e B relative al tavolo”.

Questo esercizio presenta una tipologia ricorrente:
Una cassa di massa m = 2 kg inizialmente ferma scende lungo un piano inclinato con un angolo α = 30°. Sapendo che l’accelerazione della cassa è di 1,5 m/s^2 , determinare il coefficiente di attrito tra la cassa e il piano. Finita la discesa, lunga 10 m, la cassa prosegue il moto su un piano orizzontale sempre con lo stesso coefficiente di attrito. Quale distanza percorre prima di fermarsi?

Ecco la mia risposta:
Quando la cassa è sul piano inclinato è soggetta a tre forze: la forza peso \(\vec F_p\) orientata verticalmente e di intensità \(F_p=mg=\mathrm{20\,N}\), che scomponiamo in una componente parallela al piano, \(F_{//}=F_p\cdot\sin(\alpha)\) e una perpendicolare a esso, \(F_{\perp}=F_p\cdot\cos(\alpha)\) ; la reazione vincolare del piano \(\vec R\) perpendicolare al piano inclinato e di intensità pari alla componente della forza peso perpendicolare al piano, \(R=F_{\perp}\); e la forza di attrito \(\vec F_a\) parallela al piano, di intensità pari al prodotto del coefficiente di attrito \(\mu\) per la componente della forza peso perpendicolare al piano, \(F_a=\mu\cdot F_{\perp}\).
Con i dati dell’esercizio: \(F_p=\mathrm{20\,N}\), \(F_{//}=\mathrm{10\,N}\), \(F_{\perp}=R=\mathrm{17\,N}\).

Troviamo la forza totale. Nella somma vettoriale fra \(\vec F_p\) e \(\vec R\), \(\vec R\) e la componente \(\vec F_{\perp}\) della forza peso si annullano, e la somma parziale è uguale a \(\vec F_{//}\). La forza totale è quindi uguale alla somma fra \(\vec F_{//}\) e \(F_a\), \(\vec F_T=\vec F_{//}+\vec F_a\). Dato che queste due forze hanno verso opposto l’intensità della forza totale è \(F_T=F_{//}-F_a=mg\cdot\sin(\alpha)-\mu mg\cdot\sin(\alpha)=(1-\mu)mg\cdot\sin(\alpha)\).

Dalla seconda legge di Newton si ricava che l’accelerazione della cassa sul piano è uguale al rapporto fra la forza totale e la massa, quindi \(a=(1-\mu)g\cdot\sin(\alpha)\). Conoscendo \(a\), \(g\) e \(\alpha\) calcoliamo \(\mu=0,69\).

Per percorrere con accelerazione \(a\) una distanza pari alla lunghezza \(l\) del piano inclinato ci vuole un intervallo di tempo \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2l}{a}}=\mathrm{3,7\,s}\). In questo intervallo di tempo la cassa acquista una velocità \(\displaystyle v=a\cdot t =\mathrm{5,5\,\frac{m}{s}}\).

Quando la cassa inizia a muoversi sul piano orizzontale, la nuova forza totale che agisce su di essa risulta uguale alla forza di attrito \(\vec F_a’\), di intensità pari a \(\mu\cdot mg\). L’accelerazione (di verso opposto al moto) risulta quindi \(\displaystyle a’=\mu g=\mathrm{6,8\frac{m}{s^2}}\).

Con questa accelerazione il tempo necessario a fermarsi è \(\displaystyle t’=\frac{v}{a’}=\mathrm{0,81\,s}\). In questo intervallo di tempo la distanza percorsa è \[\displaystyle s=v\cdot t' +\frac{1}{2}a'\cdot t'^2 = \mathrm{5,5\frac{m}{s}\cdot 0,81\,s-\frac{1}{2}6,8\frac{m}{s^2}\left(0,81\,s\right)^2=2,2\,m}.\]Si noti il segno meno, legato al fatto che l’accelerazione \(a’\) è opposta al moto.

Questo è un esercizio di elettrostatica:

Una particella puntiforme di massa m = 5 g ha una carica positiva q = 4×10^-7 C. La particella è appesa a un filo di lunghezza l = 1 m vicino a una distribuzione piana di cariche positive. Quando la carica è in equilibrio il filo forma un angolo α = 45° col piano di cariche. Calcola l’intensità delle forze agenti sulla particella, il valore del campo elettrico nel punto in cui si trova la particella e la densità di carica del piano.

Questa è la mia risposta:

Il disegno rappresenta il piano di carica \(P\), il filo di lunghezza \(l\) che sospende la carica \(q\), le due forze agenti sulla carica (la forza peso \(\vec F_p\) e la forza elettrostatica \(\vec F_e\)) e la forza risultante. Come si vede dal disegno, se l’angolo \(\alpha\) è uguale a 45°, le due forze devono avere la stessa intensità.

L’intensità della forza peso è \(F_p=m g\), mentre l’intensità della forza elettrostatica è \(F_e=q E\), dove \(E\) è l’intensità del campo elettrico generato da \(P\). (L’intensità del campo elettrico non dipende dalla distanza dal piano, purché le dimensioni del piano siano molto maggiori della distanza stessa.) Conoscendo \(m\) è possibile calcolare \(F_p\) e quindi \(F_e\), e conoscendo \(F_e\) e \(q\) è possibile calcolare \(E\).

Il campo elettrico generato da una distribuzione piana di carica di densità \(\sigma\) vale \(\displaystyle E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\), dove \(\epsilon_0\) è la permittività del vuoto. Conoscendo \(E\) e ricavando dalle tabelle il valore di \(\epsilon_0\), è possibile calcolare \(\sigma\).

Questo è un quesito sulla forza di Ampère:

Tre fili rettilinei paralleli sono posti sui vertici di un triangolo equilatero di lato d = 35 cm, come mostrato nella figura, e sono attraversati dalle correnti i1, i2 e i3. Le correnti hanno tutte intensità uguali a 2 A. Determina modulo, direzione e verso della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 nel caso in cui le correnti i1, i2 e i3 siano tutte uscenti dal foglio.

Ecco la mia risposta:

Sul disegno originale tracciamo i vettori delle forze esercitate dai fili 2 e 3 sul filo 1, e la loro risultante.

\(\vec F_2\) e \(\vec F_3\) sono evidentemente dirette lungo il lato che congiunge ciascun filo al filo 1, sono orientate rispettivamente verso 2 e 3 perché fra correnti concordi la forza di Ampère è attrattiva, hanno lo stesso modulo e formano fra loro un angolo di 60°.
Il modulo di ciascun vettore si può calcolare con la legge di Ampère della forza magnetica tra fili percorsi da corrente:
\(\displaystyle F=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i\cdot i’\cdot l}{d}\)
dove figura anche la lunghezza \(l\) dei due fili. Dividendo per \(l\) si ottiene la forza per unità di lunghezza, che vale:
\(\displaystyle \frac{F}{l}=\mathrm{2,3\frac{N}{m}}\).

Le due forze sono uguali in modulo, quindi la risultante è diretta lungo la bisettrice dell’angolo fra di esse. Le componenti perpendicolari a tale bisettrice si cancellano, mentre ciascuna delle componenti orizzontali vale \(\displaystyle\frac{F}{l}\cdot\cos(30°)=\mathrm{2,0\frac{N}{m}}\) e la loro somma ha due volte questo valore.

Questo è un esercizio sulle condizioni di equilibrio:

Una scala, la cui massa è distribuita uniformemente lungo tutta la sua lunghezza, poggia con un’estremità su un piano orizzontale scabro (μs = 0,2) e con l’altra contro una parete verticale liscia. Si determini l’angolo di minima inclinazione θmin che la scala può formare col piano orizzontale senza scivolare al suolo.

Ecco la mia risposta:

Nel disegno sono indicate le forze agenti sulla scala:
il peso \(\vec P\) applicato nel centro di massa della scala;
la reazione vincolare \(\vec R\) del pavimento, perpendicolare a esso;
la reazione vincolare \(\vec N\) del muro, perpendicolare a esso;
la forza di attrito \(\vec F_a\) parallela al pavimento.

Se la scala è in equilibrio, la forza totale deve risultare nulla: le due forze verticali devono avere lo stesso modulo, \(R=P=m g\), e così le due forze orizzontali, \(N=F_a\).
La forza di attrito deve a sua volta essere uguale alla forza che la scala esercita perpendicolarmente al suolo (tale forza è una forza di contatto uguale in modulo alla forza peso) per il coefficiente di attrito statico: \(F_a=\mu_s mg\). Quindi \(N=\mu_s mg\).

Per l’equilibrio, però, è anche necessario che sia nullo il momento totale delle forze rispetto a un punto qualsiasi. Prendendo il punto O, i momenti di \(\vec R\) e di \(\vec F_a\) risultano nulli, mentre gli altri due risultano:
\(\displaystyle M_P=-mg\frac{l}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-mg\frac{l}{2}\cos\theta\)
dove il segno meno esprime il fatto che questo momento imporrebbe una rotazione in senso orario, e
\(\displaystyle M_N=\mu_s mg\sin(\pi-\theta)=\mu_s mg\sin\theta\)
positivo in quanto produrrebbe una rotazione in senso antiorario.
Imponendo che la somma dei due momenti sia nulla si ottiene:
\(\displaystyle\tan\theta=\frac{1}{2\mu_s}\)
relazione che permette di calcolare \(\theta_{min}=22°\).

Questa è una domanda sulle forze:

Ho delle difficoltà nella soluzione della seconda parte del seguente quesito: considera il pendolo della figura, dove la pallina appesa al filo ha massa m = 2,4 kg; calcola la velocità nel punto A e la tensione del filo nella stessa posizione A. Per la velocità non ho avuto problemi, ho applicato il principio di conservazione dell’energia meccanica e ho trovato il valore v = 4,2 m/s. Per quanto riguarda la tensione il libro mi dice di considerare che essa è sempre perpendicolare allo spostamento e quindi il lavoro è nullo.

Ecco la mia risposta:

Confesso di non capire il suggerimento del testo. Forse bisognerebbe leggere il riferimento originale.
Comunque trovare la risposta è abbastanza semplice, se si tiene conto che la forza centripeta \(\vec F_c=m\vec a_c\) che in A fa muovere il pendolo di un moto istantaneamente circolare di raggio \(l\) è uguale alla somma vettoriale fra la tensione \(\vec T\) (diretta verso l’alto) e la forza peso \(\vec F_p\) (diretta verso il basso). Passando ai moduli, \(m a_c=T-mg\) e quindi:
\(\displaystyle T=m\frac{v^2}{l}+mg\).

Questo è un esercizio sulla legge di Coulomb:

Quattro cariche puntiformi (Q_1 = 2,0 C, Q_2 = Q_4 = 5,0 C, Q_3 = 3,0 C) sono disposte in senso orario sui vertici di un quadrato di lato 40 cm. Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1.
Determina poi direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1 supponendo che le cariche siano immerse in acetone (costante dielettrica relativa = 21).
Al centro del quadrato è quindi posta una carica Q = 3,0 C. Determina direzione, verso e intensità del vettore forza elettrica risultante sulla carica Q.

Ecco la mia risposta:

Tracciamo un disegno e indichiamo i vettori delle forze \(\vec F_2\), \(\vec F_3\) e \(\vec F_4\) esercitate su \(Q_1\) rispettivamente da \(Q_2\), \(Q_3\) e \(Q_3\).

I vettori delle forze sono allineati con i segmenti che uniscono le cariche e corrispondono a forze repulsive. Come si vede dal disegno \(F_2=F_4\) perché \(Q_2=Q_4\), quindi la somma \(\vec F_2+\vec F_4\) è allineata, come \(\vec F_3\), con la diagonale del quadrato. Per sommare le tre forze proiettiamo \(\vec F_2\) e \(\vec F_4\) su \(\vec F_3\), quindi sommiamo i tre moduli.
\(\displaystyle F_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1 \cdot Q_2}{l^2} = 5,6\cdot10^{11}\mathrm{N}\)
\(\displaystyle F_3 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1 \cdot Q_3}{\left(\sqrt 2 l\right)^2} = 1,7\cdot10^{11}\mathrm{N}\)
\(F_{2\; \mathrm{lungo\;F_3}}=F_2 \cdot \cos(45°) = 4,0\cdot10^{11}\mathrm{N}\)
\(F_{4\; \mathrm{lungo\;F_3}}=F_{2\; \mathrm{lungo\;F_3}}\)
\(F_{\mathrm{tot}} = F_{2\; \mathrm{lungo\;F_3}} + F_3 + F_{4\; \mathrm{lungo\;F_3}} = 9,7\cdot10^{11}\mathrm{N}\).

Nel caso che le cariche siano immerse in acetone, ogni forza viene ridotta di un fattore uguale a \(\epsilon_r = 21\). Anche la forza totale viene ridotta dello stesso fattore: \(F’_{\mathrm{tot}}=0,46\cdot10^{11}\mathrm{N}\).

Con le medesime tecniche si può risolvere l’ultima parte del problema.

Questo è un esercizio sulle forze:

Un cubetto di ghiaccio di massa pari a 50 g è sulla parete laterale di un imbuto che può essere fatto ruotare attorno al suo asse. Tra il cubetto e l’imbuto il coefficiente di attrito statico è 0,050, la parete laterale è inclinata di 45° ed il cubetto si trova a 10 cm dall’asse dell’imbuto. Determina la minima velocità di rotazione (angolare) dell’imbuto necessaria ad impedire al cubetto di ghiaccio di scendere giù per l’imbuto.

Ecco la mia risposta:

Sul cubetto agiscono tre forze: la forza peso \(F_p=mg\), la reazione vincolare della parete dell’imbuto \(F_R\) e la forza di attrito \(F_a=\mu\cdot mg\cdot\cos(45°)\). La somma vettoriale delle prime due, come è noto dall’analisi dell’equilibrio sul piano inclinato, è uguale alla componente della forza peso parallela alla parete stessa, \(F_{par}=mg\cdot\sin(45°)\). La differenza fra quest’ultima forza e la forza di attrito, \(F_{eff}=mg\cdot\sin(45°)-\mu\cdot mg\cdot\cos(45°)=(1-\mu)mg\cdot\sin(45°)\) rappresenta la forza efficace che farebbe scivolare il cubetto lungo la parete.
Se l’imbuto ruota, sul cubetto deve agire una forza centripeta \(F_c=m\omega^2r\), diretta lungo il raggio di rotazione. Anche questa forza può essere scomposta in una componente perpendicolare alla parete (questa componente è fornita da un’ulteriore reazione vincolare della parete) e una componente parallela ad essa, \(F_{c,\,par}=m\omega^2r\cdot\cos(45°)\). Questa seconda componente deve essere almeno uguale a \(F_{eff}\), affinché il cubetto non scivoli:
\(m\omega^2r\cdot\cos(45°)=(1-\mu)mg\cdot\sin(45°)\)
da cui:
\(\omega^2r=(1-\mu)g\)
e infine \(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{(1-\mu)g}{r}}=\mathrm{9,6\frac{rad}{s}}\).

Questo è un quesito sulla pressione:

Qual è il principio fisico alla base del funzionamento di una ventosa? In che modo una differenza di pressione crea adesione? Perché un sottile strato di liquido tra superficie d’appoggio e ventosa rafforza l’adesione?

La mia risposta:

Il principio è semplice. Se sulla faccia A di una parete qualsiasi c’è una pressione maggiore che sulla faccia B, la forza perpendicolare alla superficie A sarà proporzionalmente maggiore a quella perpendicolare alla superficie B (ricordiamo che la pressione è uguale al rapporto fra la forza perpendicolare a una superficie e l’area della superficie stessa). Sulla parete ci sarà quindi una forza risultante non nulla da A a B.

Uno strato di fluido aiuta probabilmente a evitare la formazione di bolle d’aria, riducendo la pressione sulla faccia corrispondente della ventosa.

Questo esercizio è molto simile al precedente:
Un corpo scivola lungo un piano inclinato alto 2 m e lungo 10 m. Se il coefficiente d’attrito è k = 0,2 calcola la sua velocità finale.

Ecco la mia risposta:
Rimando al problema precedente, Un blocco di granito su un piano in lamiera. Ci sono alcune piccole differenze: nel problema precedente viene data l’inclinazione del piano, mentre qui si forniscono altezza e lunghezza, così che risulti naturale scrivere la componente parallela della forza peso come \(\displaystyle mg\frac{h}{l}\); il coefficiente di attrito, che lì ho chiamato \(\mu\), qui si chiama \(k\); e la distanza al termine della quale occorre calcolare la velocità non è la distanza fino a una fotocellula, ma l’intera lunghezza del piano.
Per il resto, l’esercizio si svolge allo stesso modo.

A questo esercizio manca un disegno:
Una massa Ma = 2 kg è posta su un carello di massa Mb = 8 kg ed è legata con una fune inestensibile e senza massa alla massa Mc = 4 kg. La carrucola è anch’essa senza massa, il coefficiente d’attrito tra A e B è 0,6 mentre è nullo tra B e il tavolo. Determinare le accelerazioni tra A e B relative al tavolo e la tensione nella fune.

Ecco la mia risposta:
Tiro a indovinare e ipotizzo che la situazione sia quella rappresentata nel disegno.

Consideriamo le forze agenti su ciascun oggetto:
1. su C agiscono la forza peso \(P=m_Cg\) e la tensione \(T\) della fune, per cui l’accelerazione è \(\displaystyle a_C=\frac{P-T}{m_C}\);
2. su B agiscono la tensione della fune e la forza di attrito (che si oppone al moto) \(F_a=\mu m_Ag\), per cui l’accelerazione è \(\displaystyle a_B=\frac{T-F_a}{m_B}\);
3. su A agisce la sola forza di attrito, rivolta in avanti, per cui l’accelerazione è \(\displaystyle a_A=\frac{F_a}{m_A}=\mu g\).
Dato che la fune è inestensibile, deve essere \(a_C=a_B\), da cui:\[\displaystyle\frac{m_C\,g-T}{m_C}=\frac{T-\mu\,m_A\,g}{m_B}\]quindi\[m_B\,m_C\,g-m_B\,T=m_C\,T-\mu\,m_C\,m_A\,g\]e finalmente\[\displaystyle T=\frac{\left(m_B+\mu\,m_A\right)m_C\,g}{m_C+m_B}.\]Calcolando con questo risultato \(a_C=a_B\), si trova \(\displaystyle \frac{m_C\,g-\mu\,m_A\,g}{m_C+m_B}\). Questo risultato ci dice che il sistema B+C si muove come un singolo oggetto sottoposto alla forza risultante dalla forza peso su C e la forza di attrito fra A e B. L’accelerazione così calcolata è relativa al tavolo.
Anche l’accelerazione \(a_A=\mu\,g\) è relativa al tavolo. Non so cosa volesse dire il testo parlando di “accelerazioni tra A e B relative al tavolo”.

Questo esercizio presenta una tipologia ricorrente:
Una cassa di massa m = 2 kg inizialmente ferma scende lungo un piano inclinato con un angolo α = 30°. Sapendo che l’accelerazione della cassa è di 1,5 m/s^2 , determinare il coefficiente di attrito tra la cassa e il piano. Finita la discesa, lunga 10 m, la cassa prosegue il moto su un piano orizzontale sempre con lo stesso coefficiente di attrito. Quale distanza percorre prima di fermarsi?

Ecco la mia risposta:
Quando la cassa è sul piano inclinato è soggetta a tre forze: la forza peso \(\vec F_p\) orientata verticalmente e di intensità \(F_p=mg=\mathrm{20\,N}\), che scomponiamo in una componente parallela al piano, \(F_{//}=F_p\cdot\sin(\alpha)\) e una perpendicolare a esso, \(F_{\perp}=F_p\cdot\cos(\alpha)\) ; la reazione vincolare del piano \(\vec R\) perpendicolare al piano inclinato e di intensità pari alla componente della forza peso perpendicolare al piano, \(R=F_{\perp}\); e la forza di attrito \(\vec F_a\) parallela al piano, di intensità pari al prodotto del coefficiente di attrito \(\mu\) per la componente della forza peso perpendicolare al piano, \(F_a=\mu\cdot F_{\perp}\).
Con i dati dell’esercizio: \(F_p=\mathrm{20\,N}\), \(F_{//}=\mathrm{10\,N}\), \(F_{\perp}=R=\mathrm{17\,N}\).

Troviamo la forza totale. Nella somma vettoriale fra \(\vec F_p\) e \(\vec R\), \(\vec R\) e la componente \(\vec F_{\perp}\) della forza peso si annullano, e la somma parziale è uguale a \(\vec F_{//}\). La forza totale è quindi uguale alla somma fra \(\vec F_{//}\) e \(F_a\), \(\vec F_T=\vec F_{//}+\vec F_a\). Dato che queste due forze hanno verso opposto l’intensità della forza totale è \(F_T=F_{//}-F_a=mg\cdot\sin(\alpha)-\mu mg\cdot\cos(\alpha)=mg\cdot\sin(\alpha)-\mu mg\cdot\cos(\alpha)\).

Dalla seconda legge di Newton si ricava che l’accelerazione della cassa sul piano è uguale al rapporto fra la forza totale e la massa, quindi \(a=g\left(\cdot\sin(\alpha)-\mu \cdot\cos(\alpha)\right)\). Conoscendo \(a\), \(g\) e \(\alpha\) calcoliamo \(\mu=0,40\).

Per percorrere con accelerazione \(a\) una distanza pari alla lunghezza \(l\) del piano inclinato ci vuole un intervallo di tempo \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2l}{a}}=\mathrm{3,7\,s}\). In questo intervallo di tempo la cassa acquista una velocità \(\displaystyle v=a\cdot t =\mathrm{5,5\,\frac{m}{s}}\).

Quando la cassa inizia a muoversi sul piano orizzontale, la nuova forza totale che agisce su di essa risulta uguale alla forza di attrito \(\vec F_a’\), di intensità pari a \(\mu\cdot mg\). L’accelerazione (di verso opposto al moto) risulta quindi \(\displaystyle a’=\mu g=\mathrm{3,9\frac{m}{s^2}}\).

Con questa accelerazione il tempo necessario a fermarsi è \(\displaystyle t’=\frac{v}{a’}=\mathrm{1,4\,s}\). In questo intervallo di tempo la distanza percorsa è \[\displaystyle s=v\cdot t’ +\frac{1}{2}a’\cdot t’^2 = \mathrm{5,5\frac{m}{s}\cdot 1,4\,s-\frac{1}{2}3,9\frac{m}{s^2}\left(1,4\,s\right)^2=3,9\,m}.\]Si noti il segno meno attribuito all’accelerazione, legato al fatto che l’accelerazione \(a’\) è opposta al moto.

Questo è un esercizio di elettrostatica:

Una particella puntiforme di massa m = 5 g ha una carica positiva q = 4×10^-7 C. La particella è appesa a un filo di lunghezza l = 1 m vicino a una distribuzione piana di cariche positive. Quando la carica è in equilibrio il filo forma un angolo α = 45° col piano di cariche. Calcola l’intensità delle forze agenti sulla particella, il valore del campo elettrico nel punto in cui si trova la particella e la densità di carica del piano.

Questa è la mia risposta:

Il disegno rappresenta il piano di carica \(P\), il filo di lunghezza \(l\) che sospende la carica \(q\), le due forze agenti sulla carica (la forza peso \(\vec F_p\) e la forza elettrostatica \(\vec F_e\)) e la forza risultante. Come si vede dal disegno, se l’angolo \(\alpha\) è uguale a 45°, le due forze devono avere la stessa intensità.

L’intensità della forza peso è \(F_p=m g\), mentre l’intensità della forza elettrostatica è \(F_e=q E\), dove \(E\) è l’intensità del campo elettrico generato da \(P\). (L’intensità del campo elettrico non dipende dalla distanza dal piano, purché le dimensioni del piano siano molto maggiori della distanza stessa.) Conoscendo \(m\) è possibile calcolare \(F_p\) e quindi \(F_e\), e conoscendo \(F_e\) e \(q\) è possibile calcolare \(E\).

Il campo elettrico generato da una distribuzione piana di carica di densità \(\sigma\) vale \(\displaystyle E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\), dove \(\epsilon_0\) è la permittività del vuoto. Conoscendo \(E\) e ricavando dalle tabelle il valore di \(\epsilon_0\), è possibile calcolare \(\sigma\).