Questo è un quesito sulla forza di Ampère:

Tre fili rettilinei paralleli sono posti sui vertici di un triangolo equilatero di lato d = 35 cm, come mostrato nella figura, e sono attraversati dalle correnti i1, i2 e i3. Le correnti hanno tutte intensità uguali a 2 A. Determina modulo, direzione e verso della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 nel caso in cui le correnti i1, i2 e i3 siano tutte uscenti dal foglio.

Ecco la mia risposta:

Sul disegno originale tracciamo i vettori delle forze esercitate dai fili 2 e 3 sul filo 1, e la loro risultante.

\(\vec F_2\) e \(\vec F_3\) sono evidentemente dirette lungo il lato che congiunge ciascun filo al filo 1, sono orientate rispettivamente verso 2 e 3 perché fra correnti concordi la forza di Ampère è attrattiva, hanno lo stesso modulo e formano fra loro un angolo di 60°.
Il modulo di ciascun vettore si può calcolare con la legge di Ampère della forza magnetica tra fili percorsi da corrente:
\(\displaystyle F=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i\cdot i’\cdot l}{d}\)
dove figura anche la lunghezza \(l\) dei due fili. Dividendo per \(l\) si ottiene la forza per unità di lunghezza, che vale:
\(\displaystyle \frac{F}{l}=\mathrm{2,3\frac{N}{m}}\).

Le due forze sono uguali in modulo, quindi la risultante è diretta lungo la bisettrice dell’angolo fra di esse. Le componenti perpendicolari a tale bisettrice si cancellano, mentre ciascuna delle componenti orizzontali vale \(\displaystyle\frac{F}{l}\cdot\cos(30°)=\mathrm{2,0\frac{N}{m}}\) e la loro somma ha due volte questo valore.

Questo è un esercizio sulle condizioni di equilibrio:

Una scala, la cui massa è distribuita uniformemente lungo tutta la sua lunghezza, poggia con un’estremità su un piano orizzontale scabro (μs = 0,2) e con l’altra contro una parete verticale liscia. Si determini l’angolo di minima inclinazione θmin che la scala può formare col piano orizzontale senza scivolare al suolo.

Ecco la mia risposta:

Nel disegno sono indicate le forze agenti sulla scala:
il peso \(\vec P\) applicato nel centro di massa della scala;
la reazione vincolare \(\vec R\) del pavimento, perpendicolare a esso;
la reazione vincolare \(\vec N\) del muro, perpendicolare a esso;
la forza di attrito \(\vec F_a\) parallela al pavimento.

Se la scala è in equilibrio, la forza totale deve risultare nulla: le due forze verticali devono avere lo stesso modulo, \(R=P=m g\), e così le due forze orizzontali, \(N=F_a\).
La forza di attrito deve a sua volta essere uguale alla forza che la scala esercita perpendicolarmente al suolo (tale forza è una forza di contatto uguale in modulo alla forza peso) per il coefficiente di attrito statico: \(F_a=\mu_s mg\). Quindi \(N=\mu_s mg\).

Per l’equilibrio, però, è anche necessario che sia nullo il momento totale delle forze rispetto a un punto qualsiasi. Prendendo il punto O, i momenti di \(\vec R\) e di \(\vec F_a\) risultano nulli, mentre gli altri due risultano:
\(\displaystyle M_P=-mg\frac{l}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-mg\frac{l}{2}\cos\theta\)
dove il segno meno esprime il fatto che questo momento imporrebbe una rotazione in senso orario, e
\(\displaystyle M_N=\mu_s mgl\sin(\pi-\theta)=\mu_s mgl\sin\theta\)
positivo in quanto produrrebbe una rotazione in senso antiorario.
Imponendo che la somma dei due momenti sia nulla si ottiene:
\(\displaystyle\tan\theta=\frac{1}{2\mu_s}\)
relazione che permette di calcolare \(\theta_{min}=22°\).

Questa è una domanda sulle forze:

Ho delle difficoltà nella soluzione della seconda parte del seguente quesito: considera il pendolo della figura, dove la pallina appesa al filo ha massa m = 2,4 kg; calcola la velocità nel punto A e la tensione del filo nella stessa posizione A. Per la velocità non ho avuto problemi, ho applicato il principio di conservazione dell’energia meccanica e ho trovato il valore v = 4,2 m/s. Per quanto riguarda la tensione il libro mi dice di considerare che essa è sempre perpendicolare allo spostamento e quindi il lavoro è nullo.

Ecco la mia risposta:

Confesso di non capire il suggerimento del testo. Forse bisognerebbe leggere il riferimento originale.
Comunque trovare la risposta è abbastanza semplice, se si tiene conto che la forza centripeta \(\vec F_c=m\vec a_c\) che in A fa muovere il pendolo di un moto istantaneamente circolare di raggio \(l\) è uguale alla somma vettoriale fra la tensione \(\vec T\) (diretta verso l’alto) e la forza peso \(\vec F_p\) (diretta verso il basso). Passando ai moduli, \(m a_c=T-mg\) e quindi:
\(\displaystyle T=m\frac{v^2}{l}+mg\).

Questo è un esercizio sulla legge di Coulomb:

Quattro cariche puntiformi (Q_1 = 2,0 C, Q_2 = Q_4 = 5,0 C, Q_3 = 3,0 C) sono disposte in senso orario sui vertici di un quadrato di lato 40 cm. Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1.
Determina poi direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1 supponendo che le cariche siano immerse in acetone (costante dielettrica relativa = 21).
Al centro del quadrato è quindi posta una carica Q = 3,0 C. Determina direzione, verso e intensità del vettore forza elettrica risultante sulla carica Q.

Ecco la mia risposta:

Tracciamo un disegno e indichiamo i vettori delle forze \(\vec F_2\), \(\vec F_3\) e \(\vec F_4\) esercitate su \(Q_1\) rispettivamente da \(Q_2\), \(Q_3\) e \(Q_3\).

I vettori delle forze sono allineati con i segmenti che uniscono le cariche e corrispondono a forze repulsive. Come si vede dal disegno \(F_2=F_4\) perché \(Q_2=Q_4\), quindi la somma \(\vec F_2+\vec F_4\) è allineata, come \(\vec F_3\), con la diagonale del quadrato. Per sommare le tre forze proiettiamo \(\vec F_2\) e \(\vec F_4\) su \(\vec F_3\), quindi sommiamo i tre moduli.
\(\displaystyle F_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1 \cdot Q_2}{l^2} = 5,6\cdot10^{11}\mathrm{N}\)
\(\displaystyle F_3 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1 \cdot Q_3}{\left(\sqrt 2 l\right)^2} = 1,7\cdot10^{11}\mathrm{N}\)
\(F_{2\; \mathrm{lungo\;F_3}}=F_2 \cdot \cos(45°) = 4,0\cdot10^{11}\mathrm{N}\)
\(F_{4\; \mathrm{lungo\;F_3}}=F_{2\; \mathrm{lungo\;F_3}}\)
\(F_{\mathrm{tot}} = F_{2\; \mathrm{lungo\;F_3}} + F_3 + F_{4\; \mathrm{lungo\;F_3}} = 9,7\cdot10^{11}\mathrm{N}\).

Nel caso che le cariche siano immerse in acetone, ogni forza viene ridotta di un fattore uguale a \(\epsilon_r = 21\). Anche la forza totale viene ridotta dello stesso fattore: \(F’_{\mathrm{tot}}=0,46\cdot10^{11}\mathrm{N}\).

Con le medesime tecniche si può risolvere l’ultima parte del problema.

Questo è un esercizio sulle forze:

Un cubetto di ghiaccio di massa pari a 50 g è sulla parete laterale di un imbuto che può essere fatto ruotare attorno al suo asse. Tra il cubetto e l’imbuto il coefficiente di attrito statico è 0,050, la parete laterale è inclinata di 45° ed il cubetto si trova a 10 cm dall’asse dell’imbuto. Determina la minima velocità di rotazione (angolare) dell’imbuto necessaria ad impedire al cubetto di ghiaccio di scendere giù per l’imbuto.

Ecco la mia risposta:

Sul cubetto agiscono tre forze: la forza peso \(F_p=mg\), la reazione vincolare della parete dell’imbuto \(F_R\) e la forza di attrito \(F_a=\mu\cdot mg\cdot\cos(45°)\). La somma vettoriale delle prime due, come è noto dall’analisi dell’equilibrio sul piano inclinato, è uguale alla componente della forza peso parallela alla parete stessa, \(F_{par}=mg\cdot\sin(45°)\). La differenza fra quest’ultima forza e la forza di attrito, \(F_{eff}=mg\cdot\sin(45°)-\mu\cdot mg\cdot\cos(45°)=(1-\mu)mg\cdot\sin(45°)\) rappresenta la forza efficace che farebbe scivolare il cubetto lungo la parete.
Se l’imbuto ruota, sul cubetto deve agire una forza centripeta \(F_c=m\omega^2r\), diretta lungo il raggio di rotazione. Anche questa forza può essere scomposta in una componente perpendicolare alla parete (questa componente è fornita da un’ulteriore reazione vincolare della parete) e una componente parallela ad essa, \(F_{c,\,par}=m\omega^2r\cdot\cos(45°)\). Questa seconda componente deve essere almeno uguale a \(F_{eff}\), affinché il cubetto non scivoli:
\(m\omega^2r\cdot\cos(45°)=(1-\mu)mg\cdot\sin(45°)\)
da cui:
\(\omega^2r=(1-\mu)g\)
e infine \(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{(1-\mu)g}{r}}=\mathrm{9,6\frac{rad}{s}}\).

Questo è un quesito sulla pressione:

Qual è il principio fisico alla base del funzionamento di una ventosa? In che modo una differenza di pressione crea adesione? Perché un sottile strato di liquido tra superficie d’appoggio e ventosa rafforza l’adesione?

La mia risposta:

Il principio è semplice. Se sulla faccia A di una parete qualsiasi c’è una pressione maggiore che sulla faccia B, la forza perpendicolare alla superficie A sarà proporzionalmente maggiore a quella perpendicolare alla superficie B (ricordiamo che la pressione è uguale al rapporto fra la forza perpendicolare a una superficie e l’area della superficie stessa). Sulla parete ci sarà quindi una forza risultante non nulla da A a B.

Uno strato di fluido aiuta probabilmente a evitare la formazione di bolle d’aria, riducendo la pressione sulla faccia corrispondente della ventosa.